Exponentialfunktion
Exponentialfunktionen sind Funktionen mit einer festen Basis a (die positiv und ungleich 1 ist) und einem variablen Exponenten x.Da die Variable x im Exponenten steht, heißt die Funktion Exponentialfunktion. c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert. Die Basis a ist ein Maß für die relative Zu- oder Abnahme. Bei einer Exponentialfunktion steigt der Funktionswert innerhalb von gleichbleibenden Zeitintervallenum den gleichen Prozentwert.
Allgemeine Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^{\lambda \cdot x}}{\text{ mit c}}{\text{,}}\lambda \in {\Bbb R}{\text{, a}} \in {{\Bbb R}^ + }\)
Einfachste Form einer Exponentialfunktion
\(f\left( x \right) = {a^x}\) mit \(a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = {a^x} \cdot \ln a\)
wobei: \(\eqalign{ & f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right) \cr & a = \dfrac{{f\left( {x + 1} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr}\)
- a ist die Basis, die Variable x ist der Exponent
- alle Funktionswerte sind positiv: f(x)>0
- Graph - die Exponentialkurve - verläuft durch \(P(0\left| 1 \right.){\text{ und }}Q(1\left| a \right.)\)
- Die x-Achse bildet die Asymptote der Exponentialfunktion
- Die Exponentialfunktion hat keine Nullstellen und kein Symmetrieverhalten.
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917→ 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.:Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- a<0: Die Exponentialfunktion ist für negative a nicht definiert, so ist \(f\left( x \right) = {\left( { - 1,3} \right)^x}\) keine Exponentialfunktion
- 0<a<1: Exponentielle Abnahme: Der Graph verläuft streng monoton fallend, man spricht von einer Abnahmefunktion
- a=1: Sonderfall: Wegen \(f\left( x \right) = {1^x} = 1\) wird die Funktion zu einer konstanten Funktion
- a>1: Exponentielle Zunahme: Der Graph verläuft streng monoton steigend. So bedeutet a=1,35 eine relative Zunahme um 35%. Man spricht von einer Wachstumsfunktion
- a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
- Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d.h. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
- Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2,7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
- Man kann Exponentialfunktionen (mit der Basis a) mittels \(f\left( x \right) = {a^x} = {e^{bx}}{\text{ mit b = }}\ln \left( a \right)\) in natürliche Exponentialfunktionen (mit der Basis e) umrechnen
- Die Funktionalgleichung besagt: \(f\left( x \right) \cdot f\left( y \right) = f\left( {x + y} \right)\)
Exponentialfunktion mit Anfangswert c
\(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) mit \(c \in {\Bbb R}{\text{ und }}a \in {{\Bbb R}^ + }\)
\(f'\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cdot \ln a\)
- c ist der Streckungsfaktor und zugleich der Anfangswert, weil \(f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c\)
- der Wert von c verändert die Steilheit vom Graph der Funktion
- 0<c<1: gestaucht gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c=1: identisch zu \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- c>1: gestreckt gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\)
- sign c: ein negatives Vorzeichen von c kehrt das Monotonieverhalten gegenüber dem Verhalten von \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
- für die Basis a, die ein Maß für die relative Zu-/Abnahme ist, gilt:
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- z.B.: a=0,9917→ 1-0,9917=0,0083→ Abnahme um 0,83%
- z.B.:Einer Abnahme um 8% pro Zeitintervall entspricht eine Abnahme auf 92%. Daher muss a=0,92 sein
- \(0 < a < 1\) und \(c > 0\): Exponentialfunktion bleibt monoton fallend
- \(0 < a < 1\) und \(c < 0\): Exponentialfunktion wird monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c > 1\): Exponentialfunktion bliebt monoton steigend
- \(a > 1\) und \(c < 1\): Exponentialfunktion wird monoton fallend
- 1-a entspricht der relativen Zu- bzw. Abnahme pro Zeitintervall
- für dem Exponenten x gilt
- sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = c \cdot {a^{ - x}}\)kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) um
- \(\left| x \right|\): Je größer der Wert von x umso schneller steigt die Funktion an
- c entspricht dem Funktionswert an der Stelle x=0: f(x=0)=c
- Graph verläuft durch \(P(0\left| {c)} \right.\)
Wachstums- und Zerfallsprozesse
übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N0
a→e
Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:
\({T_{0,5}} = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{\lambda } \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0,5} \right)}}{T}\)
- Exponentielles Wachstum: l ... Wachstumskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
- Exponentieller Zerfall: -l Zerfallskonstante
\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{ - \lambda t}}\)
Exponentialfunktion - Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a, bei fixem c=1
Exponentialfunktion - Interaktive Illustration
Die interaktive Illustration zeigt das Monotonieverhalten abhängig von der Basis a und dem Anfangswert c auf der Website von Geogebra.org:
Illustration auf GeoGebra.org anzeigen
- Regler a: Verändere die Basis
- Regler c: Verändere den Faktor
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Relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert
Nachfolgend betrachten wir die relative und die absolute Änderung der Exponentialfunktion mit Anfangswert:
\(\eqalign{ & N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t} \cr & N(t + 1) = {N_0} \cdot {a^{t + 1}} = {N_0} \cdot {a^t} \cdot a = a \cdot N(t) \cr} \)
Für die relative Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der unabhängig von der Zeit t ist und daher in gleichen Zeitintervallen gleich groß ist:
\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{{y_{n + 1}} - {y_n}}}{{{y_n}}} = \dfrac{{a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right)}}{{N\left( t \right)}} = \dfrac{{N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)}}{{N\left( t \right)}} = a - 1\)
Für die absolute Änderung ergibt sich folgender Zusammenhang, der abhängig von der Zeit ist, und daher in gleichen Zeitintervallen unterschiedlich groß ist:
\(\Delta y = {y_{n + 1}} - {y_n} = a \cdot N\left( t \right) - N\left( t \right) = N\left( t \right) \cdot \left( {a - 1} \right)\)
